Правильні многогранники

Правильний многокутник та його властивості

Пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, поліго́н) — багатокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості:

Координати.

Нехай $x_0$ та $y_{0}$ — координати центра, а R — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола, ${\phi }_{0}$ — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного багатокутника визначаються формулами

$x_{i}=x_{0}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)$

$y_{i}=y_{0}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)$ ,

де $i=0,\dots ,n-1$ .

Розміри.

Нехай R — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює

$r=R\cos {\frac {\pi }{n}}$ , а довжина сторони багатокутника рівна $t=2R\sin {\frac {\pi }{n}}$ .

Площа.

Площа правильного багатокутника з числом сторін n та довжиною сторони t обчислюється за формулою

$S={\frac {n}{4}}t^{2}{\mathop {\mathrm {ctg} }}\,{\frac {\pi }{n}}$ .

Площа правильного багатокутника з числом сторін n, вписаного в коло радіусу R обчислюється за формулою

$S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}$ .

Площа правильного багатокутника з числом сторін n, описаного навколо кола радіусу r обчислюється за формулою

$S=nr^{2}{\mathop {\mathrm {tg} }}\,{\frac {\pi }{n}}$ (площа основи n-кутної правильної призми).

Правильний багатокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону багатокутника, а як висоту — апофему.