Додекаедр

Додека́едр — правильний многогранник, об'ємна геометрична фігура, складена з дванадцяти правильних п'ятикутників. Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників. Таким чином, додекаедр має 12 граней (п'ятикутних), 30 ребер і 20 вершин (у кожній сходяться 3 ребра). Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин рівна 324°.

Формули

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

Радіус описаної сфери:

Радіус вписаної сфери:

Двогранний кут між гранями:

, де  - золотий перетин.

Властивості правильного додекаедра

• Усі двадцять вершин додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п'ятикутник.
• Двогранний кут між будь-якими двома суміжними гранями додекаедра дорівнює arccos (-1 / √5) ≈116 °, 565.
• Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324 °, тригранний кут дорівнює arccos (-11 / 5√5) ≈2,9617 стерадіан.
• У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
• Додекаедр має три зірчасті форми.

Розгортка додекаедра