вівторок, 12 листопада 2019 р.

Правильний многокутник та його властивості

Пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, поліго́н) — багатокутник, у якого всі кути і всі сторони рівні між собою.

Властивості:

  • Координати. 
Нехай x_0 та {\displaystyle y_{0}} — координати центра, а  R — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола, {\displaystyle {\phi }_{0}} — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного багатокутника визначаються формулами
{\displaystyle x_{i}=x_{0}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}
{\displaystyle y_{i}=y_{0}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)},
де {\displaystyle i=0,\dots ,n-1}.
  • Розміри.
Нехай R — радіус описаного навколо правильного багатокутника кола; тоді радіус вписаного кола дорівнює
{\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}}, а довжина сторони багатокутника рівна {\displaystyle t=2R\sin {\frac {\pi }{n}}}.
  • Площа.
Площа правильного багатокутника з числом сторін n та довжиною сторони  t обчислюється за формулою
{\displaystyle S={\frac {n}{4}}t^{2}{\mathop {\mathrm {ctg} }}\,{\frac {\pi }{n}}}.
Площа правильного багатокутника з числом сторін n, вписаного в коло радіусу R обчислюється за формулою
{\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}.
Площа правильного багатокутника з числом сторін  n, описаного навколо кола радіусу  r обчислюється за формулою
{\displaystyle S=nr^{2}{\mathop {\mathrm {tg} }}\,{\frac {\pi }{n}}}(площа основи n-кутної правильної призми).
Правильний багатокутник може бути розкладеним на стільки рівних рівнобічних трикутників, скільки в нього є сторін. Кожний із трикутників має за основу сторону багатокутника, а як висоту — апофему. 
о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)